完备性-闭区间套

定义: 以自然数为自变量的函数 $f:\mathbb{N}\to X$ 称为序列, 或者更完整地称为集合 $X$ 的元素序列, 对应的函数值 $f(n)$ 常记为 $x_{n}$ 称为序列的第 $n$ 项

定义: 设 $X_{1},X_{2},...,X_{n},...$ 是某些集合的序列, 如果 $X_{1}\supset X_{2}\supset\cdots\supset X_{n}\supset\cdots$ , 就称为集合套序列, 简称集合套

闭区间套引理(Cauchy-Cantor原理): 对于任何闭区间套序列 $I_{1}\supset I_{2}\supset\cdots\supset I_{n}\supset\cdots$ , 存在 $c\in\mathbb{R}$ 为所有这些闭区间的公共点, 若 $\forall\,\varepsilon>0$ , 在序列中可以找到长度 $|I_{k}|<\varepsilon$ 的闭区间 $I_{k}$ , 则 $c$ 是所有闭区间的唯一公共点
[证明]: 设 $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ , 由于 $I_{n}\supset I_{n+1}$ , 则必有 $a_{n+1}\geq a_{n}$ , $b_{n+1}\leq b_{n}$ , 确切来讲是 $$ a_{n}\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_{n} $$ 那么对于任意的 $a_{m}$ , $b_{n}$ , 存在足够大的 $N>\max\{m,n\}$ , 使得 $a_{m}\leq a_{N}\leq b_{N}\leq b_{n}$ , 记集合 $A=\{a_{m}|m\in\mathbb{N}\}$ , $B=\{b_{n}|n\in\mathbb{N}\}$ ,
则由 [[1.The_RealNumber_Axiom_system]]:实数公理系统 中的完备性公理,
存在 $c\in\mathbb{R}$ , 使得 $\forall\,a_{m}\in A$ , $\forall\,b_{n}\in B$ 均有 $a_{m}\leq c\leq b_{n}$ ,
特别地, 有 $a_{n}\leq c\leq b_{n}$ , $n\in\mathbb{N}$ ,
即 $c\in I_{n}$ , $\forall\,n\in\mathbb{N}$ 这就证明了存在性
若还存在 $c^{'}$ 符合条件, 若 $c\neq c^{'}$ , 则不妨设 $c<c^{'}$ , 那么取 $\varepsilon=c^{'}-c>0$ ,
由题设, 存在 $I_{k}$ 满足 $|I_{k}|<\varepsilon$ ,
但又应满足有 $c,c^{'}\in I_{k}$ , 故 $\varepsilon=|c-c^{'}|\leq|I_{k}|<\varepsilon$ , 矛盾
故 $c=c^{'}$