完备性-有限覆盖

定义: 设 \(S=\{X\}\) 是集合构成的集合族, 如果 \(Y\subset\bigcup\limits_{X\in S}X\) , 就说集合族 \(S\) 覆盖集合 \(Y\) , 集合族 \(S=\{X\}\) 的子集也为集合族, 称为 \(S\) 的子族

有限覆盖引理(Borel-Lebesgue原理): 在覆盖一个闭区间的任何开区间族中都有覆盖该闭区间的有限子族
[证明]: 设开区间组 \(S=\{U\}\) 覆盖闭区间 \([a,b]=I_{1}\) , \(I_{1}=[a,\frac{a+b}{2}]\cup[\frac{a+b}{2},b]\) , 若 \([a,\frac{a+b}{2}]\) 都可以被有限区间覆盖,
则 \(I_{1}\) 可以被有限个区间覆盖, 那么若结论不成立, 至少有其中一个不可以被有限覆盖,记为 \(I_{2}\) \((I_{2}\subset I_{1})\) , 无论是哪个, 都有 \(|I_{2}|=\frac{|I_{1}|}{2}\)
类似的对 \(I_{2}\) 讨论, \(I_{2}\) 二分为两个区间, 其中必有其一不可被有限覆盖, 记为 \(I_{3}\) \((I_{3}\subset I_{2})\) , 必有\(|I_{3}|=\frac{|I_{1}|}{4}\)
\(\cdots\cdots\)
重复操作得到 \(I_{n}\) \((I_{n}\subset I_{n-1})\) , 应有 \(|I_{n}|=\frac{|I_{1}|}{2^{n-1}}=\frac{b-a}{2^{n-1}}\) ,
考虑闭区间套 \(I_{1}\supset I_{2}\supset\cdots\supset I_{n}\supset\cdots\) 对于 \(\forall\,\varepsilon>0\) , 为使 \(|I_{k}|=\frac{b-a}{2^{k-1}}<\varepsilon\) , 只需 \(k>\lceil\log_{2}(\frac{2(b-a)}{\varepsilon})\rceil\) 即可, 即总存在 \(I_{k}\in\{I_{n}\}\) 使得\(|I_{k}|<\varepsilon\) ,
由此根据 [[2.Completeness_Closed_nested_interval]]:闭区间套原理 , 闭区间套原理的条件, 应存在唯一的 \(c\) 属于所有闭区间,
特别地, 由于 \(S\) 覆盖 \([a,b]\ni c\) , 在 \(S\) 中必然有开区间 \((\alpha,\beta)=U\in S\) ,
使得 \(c\in U\) , 即 \(\alpha<c<\beta\)
设 \(\varepsilon=\min\{c-\alpha,\beta-c\}\) , 则存在一个开区间套中的区间 \(I_{m}=[a_{m},b_{m}]\)
使得 \(|I_{m}|<\varepsilon\) 由于 \(c\in I_{m}\) , 则 \(c-a_{m}\leq b_{m}-a_{m}<\varepsilon<c-\alpha\) , 得 \(a_{m}>\alpha\) ,
类似的还可以得到 \(b_{m}<\beta\) 那么 \(I_{m}\subset(\alpha,\beta)\) , 但这与 \(I_{m}\) 不可被有限覆盖的定义矛盾
因此, \(I_{1}\) 必然可被有限个开区间覆盖