完备性-Cauchy原理

定义: 如果对于 \(\forall\,\varepsilon>0\) , \(\exists\,N\in\mathbb{N}\) , 使得 \(m,n>N\) 时, \(|x_{m}-x_{n}|<\varepsilon\) , 则将数列 \(\{x_{n}\}\) 称为基本数列或是柯西数列

Cauchy收敛原理: 数列收敛的充要条件为它的基本数列
[证明]: (必要性) 若有数列 \(\{x_{n}\}\) , \(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=A\) , 则对于 \(\forall\,\varepsilon>0\) , \(\exists\,N\in\mathbb{N}^{*}\) , 使 \(|x_{n}-A|<\frac{\varepsilon}{2}\)
那么当 \(m,n>N\) 时, \(|x_{n}-x_{m}|<|x_{n}-A|+|A-x_{m}|<\varepsilon\)
(充分性) 若对于 \(\forall\,\varepsilon>0\) , \(\exists\,N(\varepsilon)\in\mathbb{N}^{*}\) , 使得 \(n,m>N(\varepsilon)\) 时, \(|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon\)
那么对于 \(\forall\,k\in\mathbb{N}^{*}\) , \(\exists\,N(k)\in\mathbb{N}^{*}\) , 使得 \(n,m>N(k)\) 时, \(|x_{n}-x_{m}|<\frac{1}{k}\)
取定 \(m=N(\varepsilon)+1\) , 则 \(|x_{n}|<|x_{n}-x_{m}|+|x_{m}|<\frac{1}{k}+|x_{m}|\) ,
记 \(M=\max\{|x_{1}|,...,|x_{N(\varepsilon)}|,\frac{1}{k}+|x_{m}|\}\) , 则 \(|x_{n}|\leq M\) , \(\forall\,n\in\mathbb{N}^{*}\)
即 \(\{x_{n}\}\) 为有界集, 由 [[4.Completeness_Accumulative_point_Principle]]:聚点原理 ,
可知 \(\{x_{n}\}\) 有一个极限点, 记为 \(A\) , 则 \(A\) 的任意小邻域内有 \(\{x_{n}\}\) 中的无穷个点
故对于 \(\forall\,\varepsilon>0\) , 存在一个 \(\{x_{n}\}\) 的子列 \(\{x_{k_{n}}\}\) , 使得 \(|x_{k_{n}}-A|<\frac{\varepsilon}{2}\)
而 \(\exists\,N_{0}\in\mathbb{N}^{*}\) , 使得 \(n>N_{0}\) 时, \(k_{n}>N(\varepsilon)\) ,
那么当 \(n>\max\{N_{0},N(\varepsilon)\}\) 时, 有 \(|x_{n}-x_{k_{n}}|<\frac{\varepsilon}{2}\)
故 \(|x_{n}-A|<|x_{n}-x_{k_{n}}|+|x_{k_{n}}-A|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\) , 这就说明了 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=A\)