完备性-单调有界原理

定义: 对于数列 \(\{x_{n}\}\) , 如果 \(\forall\,n\in\mathbb{N}\) , 有 \(x_{n}\leq(\geq)x_{n+1}\) , 则称其为递增(减)数列,
若 \(x_{n}<(>)x_{n+1}\) , 则称为严格递增(递减)数列, 它们都成为单调数列

Weierstrass定理: 若有递增(减)数列 \(\{x_{n}\}\) , 则 $$ \{x_{n}\}收敛\iff \{x_{n}\}有上(下)界 $$ [证明]: 不妨证有递增有上界的情况
(充分性) 若 \(x_{n}<A^{'}\) , 由[[7.Completeness_Supremum_Principle]]:确界原理 ,
可知 \(\{x_{n}\}\) 有上确界 \(A\) , 那么对于 \(\forall\,n\in\mathbb{N}^{*}\) , \(\exists\,x_{k_{n}}\in\{x_{m}|m\in\mathbb{N}^{*}\}\) 使得 \(x_{k_{n}}>A-\frac{1}{n}\) ,
那么对 \(\forall\,m>k_{n}\) , \(x_{m}>x_{k_{n}}>A-\frac{1}{n}\) , 那么 $$ -\frac{1}{n}<0<A-x_{m}=|A-x_{m}|<\frac{1}{n} $$由此可得 \(\lim\limits_{m\to\infty}x_{m}=A\)