完备性-致密性原理

定义: 如果 \(x_{1},x_{2}...,x_{n},...\) 是某数列, 而 \(n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{k}<\cdots\) 是递增自然数列, 则将数列 \(x_{n_{1}},x_{n_{2}},...,x_{n_{k}},...\) 称为数列 \(\{x_{n}\}\) 的子列

致密性原理(Bolzano-Weierstrass原理): 有界数列必有收敛子列
[证明]: 记 \(E=\{x_{m}|m\in\mathbb{N}^{*}\}\)
\((\mathrm{I})\) 若 \(|E|<\infty\) , 则不妨设 \(E=\{y_{1},y_{2},\cdots,y_{N}\}\) ,
那么至少存在一个值 \(y_{k}\in E\) , 使得存在序号序列\(n_{1}<n_{2}<\cdots\) ,
使得 \(x_{n_{1}}=x_{n_{2}}=\cdots=y_{k}\) , 否则 \(\{x_{n}\}\) 为有穷数列, 不值得研究,
即我们的讨论默认建立在无穷数列 \(\{x_{n}\}\) 上, 因此, 取子列 \(\{x_{n_{m}}\}\) 即可
\((\mathrm{II})\) 当 \(|E|=\infty\) 时, 由于 \(E\) 为有界集,
由[[4.Completeness_Accumulative_point_Principle]]:聚点原理 , 必然有极限点 \(x\) ,
那么对于 \(\forall\,N\in\mathbb{N}^{*}\) , \(\exists\,n_{N}\in\mathbb{N}^{*}\) , 使得 \(|x_{n_{N}}-x|<\frac{1}{N}\) ,
并且当 \(n_{N}\) 取定时, 必然可以约束 \(n_{N+1}>n_{N}\) ,
由此便可得到一组点列 \(\{x_{n_{m}}\}\) , 使得 \(|x_{n_{m}}-x|<\frac{1}{m}\) , \(\forall\,\varepsilon>0\) ,
当 \(k>\lceil\frac{1}{m}\rceil\) 时, 就有 \(|x_{n_{k}}-x|<\varepsilon\) , 这就说明了 \(\lim\limits_{k\to\infty}{x_{n_{k}}}=x\) , 即 \(\{x_{n}\}\) 有收敛子列