线性函数

先前已经研究了域 \(\mathbf F\) 上线性空间 \(V\) 到 \(V\) 上的映射，即线性变换 由于域 \(\mathbf F\) 也是自身上的线性空间，即 \(\mathbf F^{\mathbf F}\) , 故可以研究一个从 \(V\) 到 \(F\) 的线性映射，特别地，该映射输出值为纯量，故一般称之为函数

定义: 设 \(V\) 为域 \(\mathbf F\) 上的线性空间, \(V\) 到 \(F\) 的一个映射 \(f\) 若满足

\[ \begin{align}f(\alpha+\beta)&=f(\alpha)+f(\beta),\qquad\forall\,\alpha,\beta\in V\\f(k\alpha)&=kf(\alpha),\qquad\qquad\forall\,\alpha\in V,k\in F\end{align} \]

则称 \(f\) 为 \(V\) 上的一个线性函数

例1：矩阵的迹：
令

\[ \begin{align}\mathrm{tr}:M_n(F)&\longrightarrow F\\A=(a_{ij})_{n\times n}&\longmapsto\sum_{i=1}^na_{ii}\end{align} \]

由于 \(\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)\) , \(\mathrm{tr}(kA)=k\mathrm{tr}(A)\) , \(\forall\,A,B\in M_n(F)\) , \(\forall\,k\in F\)
故 \(\mathrm{tr}\) 为 \(M_n(F)\) 上的一个线性函数，称之为迹函数

例2：
令

\[ \begin{align}f:\qquad\qquad F^n&\longrightarrow F\\\alpha=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{'}&\longmapsto\sum_{i=1}^na_ix_i\end{align} \]

同样，也可以证明 \(f\) 为 \(F^n\) 上的线性函数

在例2中，\(F^n\) 上的线性函数 \(f\) 的表达式是明确的，即 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_s)=\sum_{i=1}^na_ix_i\)

那么对于一般情况，如何求出域 \(\mathbf F\) 上的 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的线性函数 \(f\) 的表达式呢?
由于 \(f\) 说到底是一个 \(V\) 到 \(F\) 上的线性映射，该映射被 \(V\) 上的一个基 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\) 的作用结果所完全确定，故只需要确定 \(f(\alpha_1),f(\alpha_2),...,f(\alpha_n)\) 即可
因为由此即知 \(V\) 中任一向量 \(\alpha=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i\) 在 \(f\) 的像 \(f(\alpha)\) 为：\(f(\alpha)=\sum_{i=1}^nx_if(\alpha_i)\) ，这便为 \(f\) 在基 \(a_1,a_2,...,a_n\) 下的表达式，为 \(\alpha\) 的在该基下的坐标 \(x_1,x_2,...,x_n\) 的一次齐次函数；
另一方面，若已知 \(\forall\,\alpha\in V\) ，都有 \(f(\alpha)=\sum_{i=1}^nx_ia_i\) ，则 \(f(\alpha_i)=a_i\) ，即已知基下 \(f\) 的表达式可以；得到基在 \(f\) 作用下的像

从上面可知，\(f\) 为 \(V\) 上的线性函数当且仅当 \(f\) 在 \(V\) 的一个基下的表达式为 \(\alpha\) 在该基下的坐标 \(x_1,x_2,...,x_n\) 的一次线性函数

将 \(\mathrm{Hom}(V,F)\) 称为 \(V\) 上的线性函数空间

由于有 \(\dim\mathrm{Hom}(V,F)=(\dim\,V)(\dim\,F)=n\cdot1=n=\dim\,F^n\)
故有\(\mathrm{Hom}(V,F)\cong F^n\)

定义: 设 \(F\) 上的线性空间 \(V\) 有一组基 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\) , 任取 \(f\in\mathrm{Hom}(V,F)\) , 由于 \(f\) 被 \(f(\alpha_1),f(\alpha_2),...,f(\alpha_n)\) 完全确定, 故可以建立映射:

\[ \begin{align}\sigma:\qquad\mathrm{Hom}(V,F)&\longrightarrow F^n\\f&\longmapsto(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots,f(\alpha_n))\end{align} \]

可以证明, \(\sigma\) 为一个 \(\mathrm{Hom}(V,F)\) 到 \(F^n\) 到的同构映射, 那么 \(\sigma^{-1}\) 也是 \(F^n\) 到 \(\mathrm{Hom}(V,F)\) 的同构映射,
如若在 \(F^n\) 中取标准基 \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n\) , 记 \(f_i=\sigma^{-1}(\varepsilon_i)\) , 则 \(\sigma(f_i)=\varepsilon_i\) .
在式

\[ \sigma(f)=f(\alpha_1)\varepsilon_1+f(\alpha_2)\varepsilon_2+\cdots+f(\alpha_n)\varepsilon_n \]

中, 取 \(f=f_i\) , 得到

\[ \varepsilon_i=\sigma(f_i)=f_i(\alpha_1)\varepsilon_1+f_i(\alpha_2)\varepsilon_2+\cdots+f_i(\alpha_i)\varepsilon_i+\cdots+f_i(\alpha_n)\varepsilon_n \]

故有

\[ f_i(\alpha_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1\qquad,i=j\\0\qquad,i\neq j\end{cases} \]

将 \(\mathrm{Hom}(V,F)\) 的该组基 \(f_1,f_2,...,f_n\) 称为 \(V\) 的基 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\) 的对偶基, 其满足 \(f_i(\alpha_j)=\delta_{ij}\), 将 \(\mathrm{Hom}(V,F)\) 称为 \(V\) 的对偶空间, 记作 \(V^*\) (注: 该种对偶空间的记法一般仅限于有限维线性空间) .

\(\forall\,\alpha=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i\) , \(f_i(\alpha)=\sum_{j=1}^nx_jf_i(\alpha_j)=x_i\)
故 \(\alpha=\sum_{i=1}^nf_i(\alpha)\alpha_i\)

定理: 设 \(V\) 为域 \(\mathbf F\) 上的 \(n\) 维线性空间, 在 \(V\) 中取两个基 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\) 和 \(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\) ,它们在 \(V^*\) 中的对偶基分别为 \(f_1,f_2,...,f_n\) 和 \(g_1,g_2,...,g_n\) , 若 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\) 到 \(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\) 的过渡矩阵为 \(A\) 即有 \((\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A\) , 则 \(f_1,f_2,...,f_n\) 到 \(g_1,g_2,...,g_n\) 的过渡矩阵为

\[ B=(A^{-1})^{'} \]

考虑映射:

\[ \begin{align}\sigma:\qquad\qquad V&\longrightarrow V^*\\\alpha=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i&\longmapsto\sum_{i=1}^nx_if_i\end{align} \]

其为一个同构映射，将 \(\sigma(\alpha)\) 记为 \(f_{\alpha}\) ，对于 \(\forall\,\beta=\sum_{i=1}^ny_i\alpha_i\) ，有 \(f_i(\beta)=\sum_{j=1}^ny_jf_i(\alpha_j)=\sum_{j=1}^ny_j\delta_{ij}=y_i\)
故

\[ f_{\alpha}(\beta)=(\sum_{i=1}^nx_if_i)(\beta)=\sum_{i=1}^nx_if_i(\beta)=\sum_{i=1}^nx_iy_i \]

# 更多地，对于 \(F\) 上的线性空间 \(V\) ，其对偶空间 \(V^*\) 也是 \(F\) 上的线性空间，于是可以有 \(V^*\) 的对偶空间 \((V^*)^*\) ，记为 \(V^{**}\) ，称作 \(V\) 的双重对偶空间，由于 \(V\cong V^*\) ，\(V^*\cong V^{**}\) ，进而有 \(V\cong V^{**}\)