二次型与实对称矩阵

定义: 如果对于 \(\mathbb{R}^{n}\) 中任意的非零列向量 \(\alpha\) 都有 \(\alpha^{'}A\alpha>0\), 就将 \(n\) 元实二次型 \(x^{'}Ax\) 称为正定的

定理: \(n\) 元二次型 \(x^{'}Ax\) 为正定的当且仅当它的正惯性指数为 \(n\)
[证明]:
(必要性) 设 \(x^{'}Ax\) 是正定的, 做非退化线性替换 \(x=Cy\) , 使得化为规范形:

如若 \(p<n\) , 则 \(y_{n}^{2}\) 的系数或者为 \(0\) , 或者为 \(-1\) , 取 \(y_{0}=(0,\cdots,0,1)^{'}\) , \(x_{0}=Cy_{0}\)
由于有 \(y_{0}^{'}C^{'}ACy_{0}=0\) 或 \(y_{0}^{'}C^{'}ACy_{0}=-1\) , 即有 \(x_{0}^{'}Ax_{0}=0\) 或 \(x_{0}^{'}Ax_{0}=-1\) , 这就与 \(x^{'}Ax\) 正定矛盾, 于是 \(p=n\)
(充分性) 显然

推论: \(n\) 元实二次型 \(x^{'}Ax\) 正定
\(\iff\) 规范形为 \(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}\)
\(\iff\) 它的标准形中的 \(n\) 个系数全都大于 \(0\)

定义: 如果实二次型 \(x^{'}Ax\) 是正定的, 即对于 \(\mathbb{R}^{n}\) 中的任意非零列向量 \(\alpha\) , 有 \(\alpha^{'}A\alpha>0\), 称实对称矩阵 \(A\) 为正定的, 正定的实对称矩阵称为正定矩阵

定理: \(n\) 级实对称矩阵 \(A\) 为正定的
\(\iff\) \(A\) 的正惯性指数等于 \(n\)
\(\iff\) \(A\simeq I\)
\(\iff\) \(A\) 的合同标准形中主对角元全大于 \(0\)
\(\iff\) \(A\) 的特征值全大于 \(0\)

推论:
\((1)\) 与正定矩阵合同的实对称矩阵为正定矩阵
\((2)\) 与正定二次型等价的实二次型为正定的, 也就是说非退化线性替换不改变实二次型的正定性
\((3)\) 正定矩阵的行列式大于零

引理: 若

为 \(n\) 级对称矩阵, \(A_{1}\) 为 \(r\) 级可逆矩阵, 则有

[证明]: 首先有 \(A_{3}=A_{2}^{'}\) , 由于

并且 \(\begin{bmatrix}I_{r}&O\\-A_{2}^{'}A_{1}^{-1}&I_{n-r}\end{bmatrix}^{'}=\begin{bmatrix}I_{r}&-{(A_{1}^{'})}^{-1}A_{2}\\O&I_{n-r}\end{bmatrix}\) , 故 \(A\simeq\begin{bmatrix}A_{1}&O\\O&A_{4}-A_{2}^{'}A_{1}^{-1}A_{2}\end{bmatrix}\)
即证

定理: 实对称矩阵 \(A\) 为正定矩阵的充要条件为 \(A\) 的所有顺序主子式都大于零
[证明]:
(必要性) 设 \(A=\begin{bmatrix}A_{k}&B_{1}\\ B_{1}^{'}&B_{2}\end{bmatrix}\) , \(A_{k}\) 为 \(A\) 的 \(k\) 阶顺序主子式
由于 \(A\) 正定, 那么取 \(\delta=\begin{bmatrix}\delta_{k}\\0\end{bmatrix}\) , 这里 \(\delta_{k}\) 为 \(\mathbb{R}^{k}\) 中的任意非零列向量, 使得 \(\delta\) 为 \(n\) 维非零列向量, 则有:

这就说明了 \(A_{k}\) 是正定的
(充分性) 对 \(A\) 的级数 \(n\) 归纳
\(n=1\) 时显然成立,
假设级数为 \(n-1\) 时命题成立, 则对于级数为 \(n\) 时, 设

注意到 \(A\) 的 \(1\sim n-1\) 阶的顺序主子式就为 \(A_{n-1}\) 的所有顺序主子式, 由题设它们都大于零, 由归纳假设应有 \(A_{n-1}\) 正定, 那么 \(A_{n-1}\simeq I_{n-1}\) , 故存在 \(n-1\) 阶可逆阵 \(C_{0}\) 使得

那么若取 \(C=\begin{bmatrix}C_{0}&0\\0&1\end{bmatrix}\) , 就有

由引理可由 \(A=\begin{bmatrix}A_{n-1}&\beta_{1}\\ \beta_{1}^{T}&b_{0}\end{bmatrix}\) 得到 \(A\simeq\begin{bmatrix}A_{n-1}&O\\ O&b_{0}-\beta_{1}^{T}A_{n-1}^{-1}\beta_{1}\end{bmatrix}\) ,
记 \(b=b_{0}-\beta_{1}^{T}A_{n-1}^{-1}\beta_{1}\) , 现在有

故有

另一方面

故

这就证明了 \(A\) 为正定矩阵, 即阶数为 \(n\) 时成立
由归纳法可知对阶数为任意的正整数 \(n\) 时结论成立

推论: 实二次型 \(x^{'}Ax\) 正定当且仅当 \(A\) 的所有顺序主子式大于零

定义: 如果对于 \(\mathbb{R}^n\) 的任一非零向量 \(\alpha\) , 有 \(\alpha^{'}A\alpha\geq0\) , 则称 \(n\) 元实二次型 \(x^{'}Ax\) 称为半正定的

定义: 如果实二次型 \(x^{'}Ax\) 是半正定的, 则称实对称矩阵 \(A\) 为半正定的

类似还可以定义负定的, 半负定的
如果实对称矩阵或是实二次型既不半正定也不半负定, 就称它是不定的

定理: \(n\) 元实二次型 \(x^{'}Ax\) 半正定
\(\iff\) 其正惯性指数为它的秩
\(\iff\) 规范形为 \(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{r}^{2}\) , \((0\leq r\leq n)\)
\(\iff\) 标准形的 \(n\) 个系数非负

推论: \(n\) 级实对称矩阵 \(A\) 半正定
\(\iff\) \(A\) 的正惯性指数为它的秩
\(\iff\) \(A\simeq\begin{bmatrix}I_{r}&O\\O&O\end{bmatrix}\) , \(r=\mathrm{rank}(A)\)
\(\iff\) \(A\) 的合同标准形的 \(n\) 个主对角元非负
\(\iff\) \(A\) 的特征值全非负

定理: 实对称矩阵 \(A\) 半正定当且仅当 \(A\) 的所有主子式非负