酉相似与酉等价

酉矩阵是一种特殊的非奇异矩阵，具有更加好的性质：\(S^{-1}=S^*\) 。

一些定义

定义: 若 \(A=(a_{ij})\in M_{m,n}(\mathbf F)\) , 则 \(A\) 的转置（记为 \(A^{\mathrm T}\)）是 \(M_{n,m}(\mathbf F)\) 中的一个矩阵, 满足 \(A^{\mathbf T}(i;j)=A(j;i)\) . \(A\) 的共轭转置 \(A^*\) （有时也称为伴随或Hermite伴随）, 记作 \(A^*\) , 定义为 \(A^*=\overline A^{\mathrm T}\) , 满足 \(A^*(i;j)=\overline{A(j;i)}\) .

对称的: 满足 \(A^{\mathrm T}=A\) .
斜对称的: 满足 \(A^{\mathrm T}=-A\) .
Hermite的: 满足 \(A^*=A\) .
斜Hermite的: 满足 \(A^*=-A\) .
本性Hermite的: 满足 \(\exists\,\theta\in\mathbf R,s.t.e^{i\theta}A\) 为Hermite的 .
酉的: 满足 \(A^*A=I\) .
正规的: 满足 \(A^*A=AA^*\) .
对称部分: \(S(A)={1\over2}(A+A^{\mathrm T})\) .
斜对称部分: \(C(A)={1\over2}(A-A^{\mathrm T})\) .
实部: \(\mathrm{Re}(A)={1\over2}(A+\overline A)\) .
虚部: \(\mathrm {Im}(A)={1\over2}(A-\overline A)\) .
Hermite部分: \(H(A)={1\over2}(A+A^*)\) .
斜Hermite部分: \(iK(A)={1\over2}(A-A^*)\) .
Toeplitz分解: 做分解 \(A=H(A)+iK(A)\) .
迹: \(A=[a_{ij}]\in M_{m,n}(\mathbf F),\,\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+...+a_{qq},\,q\in\mathrm{min}\{m,n\}\) .
（\(\mathrm{tr}AA^*=\mathrm{tr}A^*A=\sum_{i,j}|a_{i,j}|^2\) , 故 \(\mathrm{tr}AA^*=0\) 当且仅当 \(A=0\) ）
迷向的: \(x^{\mathrm T}x=0\) .

酉矩阵与QR分解

定义: 一列向量 \(x_1,...,x_k\) , 若对 \(\forall i\neq j;i,j\in\{1,...,k\}\) 有 \(x_i^*x_j=0\) 则称它们是正交的. 特别地若有 \(\forall i\in\{1,...,k\}\) 有 \(x_i^*x_i=1\) , 则称它们是标准正交的.

定理: \(C^n\) 中正交的向量组线性无关

下面一些命题等价:
\((1)\) \(U\) 为酉矩阵
\((2)\) \(U^*U=I\)
\((3)\) \(U^*\) 为酉矩阵
\((4)\) \(U\) 的行向量组为标准正交的
\((5)\) \(U\) 的列向量组为标准正交的
\((6)\) \(\forall\,x\in C^n\) , \(|x|=|Ux|\)

前面几条性质的显然的，关注于 \((6)\) ，引出定义：

定义: 如果 \(\forall\,x\in C^n\) , 都有 \(|x|=|Tx|\) , 确切来讲是 \(||x||_2=||Tx||_2\) , 此时称线性算子 \(T\) 是Euclid等距的

由此看来，一个复矩阵为酉矩阵当且仅当它是Euclid等距的