环

相对于群，环是具有两种运算法则的代数体系，再结合律基础上以分配律建立了两种运算间的关系

定义: 设 \(R\) 为一个非空集合, 如果在 \(R\) 中有两种二元运算, 且满足:
\((1)\) \(R\) 对于其中一种运算(记为加法 \('+'\) )成为交换群, 即 \((R,+)\) 为交换群
\((2)\) \(R\) 对于另外一种运算(记为乘法 \('\cdot'\) )称为半群, 即 \((R,\cdot)\) 为半群
\((3)\) 两种运算间满足分配律

则称 \(R\) 为一个环 , 可记作 \((R\,;+,\cdot)\) 或 \(\{R\,;+,\cdot\}\)
如若 \((R,\cdot)\) 有幺元, 则称 \(R\) 为幺环; 如若 \((R,\cdot)\) 满足交换律, 则称 \(R\) 为交换环 .

之后乘法 \(a\cdot b\) 均简记为 \(ab\)

性质:
\((1)\) \((m+n)a=ma+na\) , \(m(-a)=-(ma)\) , \((mn)a=m(na)\) , \(m(a+b)=ma+mb\)
\((2)\) \(a^ma^n=a^{m+n}\) , \((a^m)^n=a^{mn}\)
\((3)\) \((\sum_{i=1}^na_i)(\sum_{j=1}^mb_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_ib_j\)
\((4)\) \(\forall a,b\in R\) , 有 \(a0=0a=0\) , \(0\) 为 \((R,+)\) 中的零元; \((-a)b=a(-b)=-(ab),(-a)(-b)=ab\)

定义:
\((1)\) 设 \(R\) 为一个环, \(a,b\in R\) , 且 \(a\neq0,b\neq0\) , 若 \(ab=0\) , 则称 \(a\) 为 \(R\) 中的一个左零因子, \(b\) 为 \(R\) 中的右零因子, 都简称为零因子 .
\((2)\) 设 \(R\) 为一个环, 若由 \(ax=ay,a\neq0\) 可以推出 \(x=y\) , 则称 \(R\) 满足左消去律; 若由 \(xa=ya,a\neq0\) 可以推出 \(x=y\) , 则称 \(R\) 满足右消去律 .

命题: 环 \(R\) 没有零因子的充要条件为其满足左右消去律 .

定义: 若环 \(R\) 不是零环, 且其没有零因子, 则称 \(R\) 为无零因子环 .

命题: 设无零因子环 \(R\) , 记 \(R^*=R-\{0\}\) , 则 \(R^*\) 中的元素对于 \(R\) 的加法具有相同的阶, 且当这共同的阶有限时, 该阶必为素数 .

定义: 设无零因子环 \(R\) , 若 \(R\) 中所有的非零元都是无穷阶的, 则称 \(R\) 的特征为 \(0\) ; 若 \(R\) 中所有的非零元都是 \(p\) 阶的 ( \(p\) 必为素数) , 则称 \(R\) 的特征为 \(p\) . 记环 \(R\) 的特征记为 \(\mathrm{char}\,R\) .

命题: 设 \(R\) 是无零因子的交换环, \(\mathrm{char}\,R=p\), \(p\) 为素数, 则对任意的 \(a,b\in R\) , 有
\((1)\)

\((2)\)

理想，商环

类似于研究子空间和商空间，子群和商群，同样可以用子环和商环的子体系和商体系研究环的结构

定义: 设 \(R_1\) 为环 \(R\) 的非空子集, 若 \(R\) 中的运算对于 \(R_1\) 仍成环, 则称 \(R_1\) 为 \(R\) 的子环 .

例如：
（1）\(m\mathbb Z\) 为 \(\mathbb Z\) 的子环（还可以证明 \(\mathbb Z\) 的非零子环必然形如 \(m\mathbb Z\)）
（2）\(\mathbb Z^{n\times n}\) 为 \(\mathbb F^{n\times n}\) 的子环，这里 \(\mathbb F\) 为数域
（3）\(C^{\infty}(\mathbb R^n)\) 为 \(C(\mathbb R^n)\) 的子环

命题: 若 \(R\) 为环, \(R_1\) 为 \(R\) 的非空子集, 则 \(R_1\) 为 \(R\) 的子环的充要条件为: \(\forall a,b\in R_1\) 有 \(a-b\in R_1,ab\in R_1\) .