实数集公理系统

分析学或至少说微积分研究是先建立在实数（后推至复数）上的，但实数是什么？

定义: 将集合 $\mathbb{R}$ 称为实数集, 其元素称为实数, 如果:

$(\mathrm{I})$ $\mathbb{R}$ 上定义了加法, 且对加法成为Abel群, $\mathbb{R}$ 上定义了乘法, 且 $R-\{0\}$ 对乘法成为Abel群, 且加法乘法间满足乘法对加法的分配律, 即构成域.

$(\mathrm{II})$ 存在 $\mathbb{R}$ 上的全序(线性序) $\leq$

$(\mathrm{III})$ 序关系对加法和乘法满足

\[\begin{align}x\leq y&\implies x+z\leq y+z,\qquad\forall\,x,y,z\in\mathbb{R}\\0\leq x,0\leq y&\implies0\leq xy,\qquad\forall\,x,y\in\mathbb{R}\end{align}\]

$(\mathrm{IV})$ 完备性公理:
若 $X,Y$ 为 $\mathbb{R}$ 的非空子集, 且对于 $\forall\,x\in X,\forall\,y\in Y$ , 有 $x\leq y$ , 则存在 $c\in \mathbb{R}$ 使得 $$ x\leq c\leq y,\qquad\forall\,x\in X,\forall\,y\in Y $$ 满足这一系列公理的集合 $\mathbb{R}$可作为实数集的一种表示, 即实数模型

$Q:$ $(1)$ 公理是否矛盾/如此的集合是否存在 $(2)$ 存在是否唯一

公理引申出的推论(性质): 对于加法:

$1^{\circ}$ 实数集中零元素唯一

$2^{\circ}$ 实数集中负元唯一

$3^{\circ}$ 方程 $a+x=b$ 有唯一解 $x=b+(-a)$

对于乘法

$1^{\circ}$ 实数集中幺元唯一

$2^{\circ}$ 实数集中逆元唯一

$3^{\circ}$ 方程 $a\cdot x=b$ 有唯一解 $x=b\cdot a^{-1}$ $(a\neq0)$

对于两种运算

$1^{\circ}$ $x\cdot0=0\cdot x=0$ , $\forall\,x\in\mathbb{R}$

$2^{\circ}$ $x\cdot y=0\implies x=0$ 或 $y=0$

$3^{\circ}$ $-x=(-1)\cdot x$

$4^{\circ}$ $(-1)(-x)=x$

$5^{\circ}$ $(-x)(-x)=x^{2}$

对于序公理

$1^{\circ}$ $x<y$ , $x=y$ , $x>y$ 有且仅有一个成立

$2^{\circ}$ $\forall\,x,y,z\in\mathbb{R}$ , 有

$$ \begin{align}x<y,y\leq z\implies x<z \\ x\leq y,y<z\implies x<z\end{align} $$ 对于序公理和运算

$\forall\,x,y,z,w\in\mathbb{R}$ , 有

$1^{\circ}$

$x<y\implies x+z<y+z$

$0<x\implies-x<0$

$x\leq y,z\leq w\implies x+z\leq y+w$

$x\leq y,z<w\implies x+z<y+w$

$2^{\circ}$

$0<x,0<y\implies0<xy$

$x<0,y<0\implies0<xy$

$x<0,0<y\implies xy<0$

$x<y,0<z\implies xz<yz$

$x<y,z<0\implies yz<xz$

$3^{\circ}$

$0<1$

$4^{\circ}$

$0<x\implies0<x^{-1}$ , 且 $0<x,x<y\implies0<y^{-1},y^{-1}<x^{-1}$

接下来主要讨论完备性公理

定义: 设集合 $X\subset\mathbb{R}$ , 如果存在 $c\in\mathbb{R}$ , 使得 $\forall\,x\in X$ 都有 $x\leq c$ $(c\leq x)$ , 就称集合 $X$ 是上(下)有界集 将 $c$ 称为集合 $X$ 的上(下)界, 既有上界又有下界的集合称为有界集

定义: 设 $a$ 是集合 $X\subset\mathbb{R}$ 的元素, 若对于 $\forall\,x\in X$ 有 $x\leq a(a\leq x)$ , 则元素 $a$ 称为集合 $X$ 的最大(小)元素, 记作 $\max X\,(\min X)$ 或 $\max\limits_{x\in X}x\,(\min\limits_{x\in X}x)$

定义: 集合 $X\subset\mathbb{R}$ 的上(下)界的最小(大)者称为 $X$ 的上(下)确界, 记作 $\sup X\,(\inf X)$ 或 $\sup\limits_{x\in X}x\,(\inf\limits_{x\in X}x)$ 引理(确界原理): 实数集的任何有上(下)界非空子集有唯一的上(下)确界
(见 [[7.Completeness_Supremum_Principle]]:确界原理 )