完备性-聚点原理

定义: 如果点 \(p\in\mathbb{R}\) 的任何领域都包含集合 \(X\in\mathbb{R}\) 的开区间称为该点的邻域, 而开区间 \((x-\delta,x+\delta)\) 称为点 \(x\) 的 \(\delta\) 邻域

聚点原理(Bolzano-Weierstrass原理): 任何无穷有界数集至少有一个极限点
[证明]: 设 \(X\) 为无穷有界数集, 则存在闭区间 \(I=[a,b]\subset\mathbb{R}\) , 使得 \(X\subset I\)
先对 \(I\) 讨论命题, 若对于 \(\forall\,x\in I\) , \(x\) 都不为 \(X\) 的极限点,
则存在一个 \(x\) 的邻域 \(U(x)\) 只包含 \(X\) 的有限个点(零个点也算有限个点),
那么 \(\{U(x)|x\in X\}\) 为 \(I\) 的一个开覆盖, 由于 \(I\) 为闭区间,
由 [[3.Completeness_Finite_covering]]:有限覆盖原理
可知 \(I\) 有 \(\{U(x)|x\in X\}\) 的有限子覆盖,
记为 \(U(x_{1}),...,U(x_{n})\) , 那么 \(X\subset I\subset U(x_{1})\cup\cdots\cup U(x_{n})\)
但是\(\infty=|X|\leq|U(x_{1})\cup\cdots\cup U(x_{n})|<\infty\) 出现矛盾,
因此 \(I\) 中一定存在 \(X\) 的极限点, 即知 \(X\) 一定有极限点