在已经简化了许多内容的讨论过[[Fourier级数]]过后，下面将对其重新严格化广义化讨论
一般概念
做为对 [[Linear_space_with_Measurement]]:有度量的线性空间 中内积空间的实例应用，我们讨论以函数作为‘‘向量’‘的函数系，并且在 \(\mathfrak R_{2}[X,\mathbb{C}]\) 中定义了内积 $$ \langle f,g\rangle:=\int_{X}(f\cdot g)(x)\,\mathrm{d}x\tag{1} $$
可以举出正交函数系的例子，并且也是接下来我们要研究的：
指数函数系 \(\{e^{inx}:n\in\mathbb{Z}\}\) 是空间 \(\mathfrak R_{2}([-\pi,\pi],\mathbb{C})\) 中关于内积 \((1)\) 的正交函数系;
三角函数系 \(\{1,\cos nx,\sin nx:n\in\mathbb{N}\}\) 是 \(\mathfrak R_{2}([-\pi,\pi],\mathbb{R})\) 中的正交函数系
（由欧拉公式，上面两个函数系可以彼此线性表出，因此他们是等价的，也将上面提到的指数函数系称作三角函数系，更精确的，复形式的三角函数系）
\[ \left\{\frac{1}{\sqrt{2l}}e^{\frac{i\pi nx}{l}}:n\in\mathbb{Z}\right\}\qquad\qquad\left\{\frac{1}{\sqrt{2l}},\frac{1}{\sqrt{l}}\cos\frac{\pi}{l}nx,\frac{1}{\sqrt{l}}\sin\frac{\pi}{l}nx:n\in\mathbb{N}\right\} \]
则分别为它们对应的规范正交函数系
对于内积空间中求正交向量组的Gram-Schmidt正交化方法，连同一带的规范(单位)化在函数空间中表示为：
\[ \varphi_{1}=\frac{\psi_{1}}{||\psi_{1}||},\qquad\varphi_{2}=\frac{\psi_{2}-\langle\psi_{2},\varphi_{1}\rangle\varphi_{1}}{||\psi_{2}-\langle\psi_{2},\varphi_1\rangle\varphi_{1}||},\qquad\cdots\qquad\varphi_{n}=\frac{\psi_{n}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\langle\psi_{n},\varphi_{k}\rangle\varphi_{k}}{||\psi_{n}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\langle\psi_{n},\varphi_{k}\rangle\varphi_{k}||} \]
作为一个与规范正交方法相关的例子：参考 [[Legendre_polynomial]]:Legendre多项式