幂级数

Abel第一定理: 幂级数 \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}\) 的收敛域是以 \(x_{0}\) 为中心的区间, 且于其内部 \((x_{0}-R,x_{0}+R)\) 处处绝对收敛, \(R\geq0\) 称为幂级数的收敛半径
[证明]**:
假设幂级数在 \(x_{0}+R_{0}\) 处收敛, 在 \(x_{0}+r_{0}\) 处 \((0<r_{0}<R_{0})\)
有 \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}|a_{n}r_{0}^{n}|=\sum\limits_{n=0}^{\infty}|a_{n}|R_{0}^{n}(\frac{r_{0}}{R_{0}})^{n}<\)