在研究了 \(R^m\to R^n\) 的映射的基础上，之后往往会研究更一般的映射（函数），在保留了一些必要的特性后，对于函数的研究可以进一步拓宽。
度量空间
定义: 有集合 \(X\) , \(X\times X\) 上定义的函数
若 \(d\) 满足:
\((1)\) \(d(x_1,x_2)=0\iff x_1=x_2\)
\((2)\) \(d(x_1,x_2)=d(x_2,x_1)\)
\((3)\) \(d(x_1,x_3)\leq d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3)\)
则称 \(d\) 为 \(X\) 上的度量或距离
将集合与上面给定的度量一同称作度量空间, 记作 \((X,d)\)
一些常见的度量
例：
\((1)\) 在 \(\mathbb R\) 上，有度量 \(d(x,y)=|x-y|\)
\((2)\) 在 \(\mathbb R\) 上，若有定义在 \(\mathbb R\cup\{0\}\) 严格上凸函数 \(f\) ，满足 \(f\geq0\) 且 \(f(x)=0\iff x=0\) ，则 \(d(x_1,x_2)=f(|x_1-x_2|)\) 为一个度量
\((3)\) 在 \(\mathbb R^n\) 中，\(d_p(\mathbf x,\mathbf y)=(\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p)^{1/p}\) 在 \(p\geq1\) 时为一个度量，特别地，\(p=2\) 即欧式度量，也成为两点间地均方差
\((4)\) 在 \((3)\) 中，令 \(p\to+\infty\) ，可得到 \(d(\mathbf x,\mathbf y)=\max_{1\leq i\leq n}|x_i-y_i|\) ，也为一个度量，称为一致度量或一致收敛性度量，或是Chebyshev度量
\((5)\) 在 \(C[a,b]\) 上，类似于 \((3)\) ，取 \(d_p(f,g)=(\int_a^b|f-g|^p(x)\mathrm{dx})^{1/p}\) 在 \(p\geq1\) 时为一个度量
\((6)\) 在 \((5)\) 中，令 \(p\to+\infty\) ，得到 \(d(f,g)=\max_{a\leq x\leq b}|f(x)-g(x)|\) 为一个度量
在度量空间 \((X,d)\) 下，可以类似于 \(\mathbb R^n\) 中定义一系列拓扑概念：
球: 若有 \(\delta>0\) , \(a\in X\) , 将 \(B(a,\delta)=\{x\in X|\,d(a,x)<\delta\}\) 称为以 \(a\in X\) 为中心, 以 \(\delta\) 为半径的球 或 点 \(a\) 的 \(\delta\) 邻域 .
开集: 若 \(G\subset X\) , \(\forall\,x\in G\) , \(\exists\,\delta>0\) , \(s.t.\) \(B(x,\delta)\subset G\) , 则称 \(G\) 为一个 \(X\) 中的开集 .
闭集: 若 \(F\subset X\) , \(X\setminus F\) 为 \(X\) 中的开集, 则称 \(F\) 为 \(X\) 中的闭集 .
有限开集交或任意开集并仍为开集
任意闭集交或有限闭集并仍未闭集
邻域: \(X\) 中包含 \(x\in X\) 的开集称为点 \(x\) 在 \(X\) 中的邻域 .
内点: 如果 \(x\in E\subset X\) 存在一个含于 \(E\) 的邻域, 则称 \(x\) 为 \(E\) 的一个内点 .
外点: 如果 \(x\in X\) 为 \(X\setminus E\) 中的内点, 则称 \(x\) 为 \(E\) 的一个外点 .
边界点: \(X\) 中既不为 \(E\) 的内点也不为其外点的点称为 \(E\) 的边界点 .
极限点: 若 \(a\in E\subset X\) 的任何邻域 \(O(a)\) 都有 \(O(a)\cap E\) 为无限集, 则称 \(a\) 为 \(E\) 的一个极限点 .
导集: 将 \(E\) 中所有极限点所组成的集合称作 \(E\) 的导集, 记作 \(E^{'}\) .
闭包: 将 \(\overline E=E\cup E^{'}\) 称作 \(E\) 的闭包 , 表示 \(E\) 和其中所有极限点共同的集合 .
命题: \(F\) 为 \(X\) 中的闭集当且仅当 \(F=\overline F\)
度量子空间: 若 \((X,d)\) 为度量空间, \(E\subset X\) , 若有 \(d_1\) 为 \(E\) 上的度量使得 \(\forall\,a,b\in E\) , \(d_1(a,b)=d(a,b)\) , 则称 \((E,d_1)\) 为 \((X,d)\) 的度量子空间 .
# 在不同度量下，是否为子空间不一定相同
度量空间的直积: 如果 \((X_1,d_1)\) 和 \((X_2,d_2)\) 为两个度量空间, 在 \(X_1\times X_2\) 中定义度量 \(d\) , 当 \(d\) 按照下面三种方法定义时, 称 \((X_1\times X_2,d)\) 为原度量空间的直积 .
\((x_1,x_2),(y_1,y_2)\in X_1\times X_2\)
\((\mathrm I)\) \(d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\sqrt{d_1^2(x_1,y_1)+d_2^2(x_2,y_2)}\)
\((\mathrm {II})\) \(d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=d_1(x_1,y_1)+d_2(x_2,y_2)\)
\((\mathrm{III})\) \(d((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\max\{d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)\}\)
可以认为，均在标准度量（欧式度量下），有 \(\mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R\) ，\(\mathbb R^3=\mathbb R^2\times\mathbb R\)
拓扑空间
定义: 如果制定了一个集合 \(X\) 的子集族 \(\tau\) , 具有如下性质:
\((a)\) \(\varnothing\in \tau\) , \(X\in\tau\)
\((b)\) \(\bigcup_{\alpha\in A}\tau_{\alpha}\in\tau\) , \((\tau_{\alpha}\in\tau\,(\forall\,\alpha\in A))\) , \(A\) 为指标集 (任意并封闭)
\((c)\) \(\bigcap_{i=1}^n\tau_i\in\tau\) , \((\tau_i\in\tau\,(\forall\,i\in\{1,2,...,n\}))\) , \(n\) 为有限数 (有限交封闭)
则称 \(X\) 或偶序 \((X,\tau)\) 为拓扑空间, 称集合 \(X\) 具有拓扑空间结构或拓扑
将 \(\tau\) 中元素称为 \(X\) 中的开集, 它们在 \(X\) 中的补集称为 \(X\) 中的闭集
# 拓扑空间可以对偶的通过闭集的性质完全类似地定义
定义了开集概念的任何度量空间都为拓扑空间，即给出集合的一个度量就能导出一种拓扑；但并不是拓扑空间都有度量
同一个集合在不同度量下可能导出同一种拓扑
定义: 如果 \(\forall\,G\in\tau\) , \(G\) 都为 \(X\) 的开子集族 \(\mathfrak B\) 中某些元素的并集, 则称 \(\mathfrak B\) 为拓扑空间 \((X,\tau)\) 的基 (或开基, 拓扑基)
例如：度量空间 \((X,d)\) 同时也是拓扑空间，其中 \(\mathfrak B=\{B(a,r):a\in X,r>0\}\) 为 \(\tau\) 的拓扑基
一个度量空间的拓扑基显然是不唯一的，如果上面的例子中限定 \(\mathfrak B\) 中 \(r\) 为有理数，实际上得到的集族仍为拓扑基
定义: 一个拓扑空间的基的最小势称为该拓扑空间的权
定义: 拓扑空间 \((X,\tau)\) 中包含点 \(x\in X\) 的开集称为该点的邻域
如果能给出 \(X\) 上的拓扑 \(\tau\) ，则确定了每个点的邻域，即所有该点的邻域
显然的还有，\(X\) 中所有点的邻域系可以组成 \(X\) 的拓扑基，出于这点，如果明确的给出集合 \(X\) 中各点的邻域就可以在 \(X\) 中引入拓扑（例如在上面的例子中，在度量空间中只需要取各点的 \(\delta\) 邻域，就确定了一个拓扑基，即得到了该拓扑）
定义: 若拓扑空间的任何两个不同的点有不相交的邻域, 则称该拓扑空间为Hausdorff空间
定义: 拓扑空间 \((X,\tau)\) , 集合 \(E\subset X\) , 若 \(\forall\,x\in X\) , 其邻域 \(U(x)\) , \(E\cap U(x)\) 非空集, 则称 \(E\) 为 \(X\) 中的处处稠密集
定义: 具有可数的处处稠密集的度量空间称为可分空间
在先前对于度量空间讨论时，许多概念的表述仅用到了邻域的概念，于是可以自然而然的将度量空间中的概念放到拓扑空间中来
拓扑空间的子空间: 设 \((X,\tau_X)\) 为拓扑空间, \(Y\) 为 \(X\) 的子集,
利用 \(\tau_X\) 定义 \(Y\) 中的拓扑 \(\tau_Y\) : \(\tau_Y=\{G_Y:G_Y=Y\cap G_X,G_X\in\tau_X\}\) , \(\tau_Y\) 中的集合 \(G_Y\) 便为 \(Y\) 中开集,
称 \(\tau_Y\) 为 \(Y\subset X\) 中的诱导拓扑或是相对拓扑
若拓扑空间 \((X,\tau)\) 的子集 \(Y\subset X\) 具有诱导拓扑 \(\tau_Y\) , 则该子集称为拓扑空间 \((X,\tau)\) 的子空间
\((Y,\tau_Y)\) 中的开集不一定是 \((X,\tau_X)\) 中的开集